Annales Mathematiques Africaines

Fonctions quasi-polynomiales de Hilbert et de Hilbert-Samuel, bifiltrations -bonnes, multiplicités

Boubacar HAMA *
Yoro DIAKITE **
Faculté des Sciences et Techniques (FST)
Université des Sciences, des Techniques et des Technologies, BP E423 Bamako, Mali

Mathematics Subject Classification: (2010) 13A02, 13A15, 13A30, 13B25, 13D40, 13F20, 13H15 .
Key words: Bigraded rings and modules, Bifiltered rings and modules, Bigraduation associated to a bifiltration, Hilbert and Hilbert-Samuel quasi-polynomials functions, fxg-good bifiltrations, multiplicities

Abstract:

The study of the asymptotic behaviour of the Hilbert function of a bigraded finitely generated module over a bigraded noetherian ring , namely the investigation on Hilbert quasi-polynomial functions of , has been recently undertaken among others in [3], [4], and [5]. This was applied to the study of the bigraded modules associated to a bifiltration of , in particulier of Hilbert-Samuel quasi-polynomial functions of . Here, as main results, we extend to -good bifiltrations some properties stated namely in [5] for -good bifiltrations and multiplicities, where and are ideals of the ring and two noetherian filtrations of . In particular we prove that the Hilbert-Samuel function of with respect to the -good bifiltration of is a quasi-polynomial function. We deduce, in a standard way, from the quasi-polynomial associated to this function, a concept of multiplicity and we give some properties of this multiplicity function.

Résumé:

L'étude du comportement asymptotique des fonctions de Hilbert d'un module bigradué de type fini sur un anneau bigradué , notamment l'étude des fonctions quasi-polynomiales de Hilbert et l'application aux modules bigradués associés à une bifiltration de , notamment l'investigation sur les fonctions quasi-polynomiales de Hilbert-Samuel que cela engendre naturellement, ont été faites récemment entres autres par [3], [4], [5]. Les résultats obtenus ici se situent dans cette veine. Nous généralisons en particulier aux bifiltrations -bonnes quelques propriétés établies notamment dans [5] pour les bifiltrations -bonnes et pour les multiplicités, où et sont des idéaux de et deux filtrations noethériennes de . En particulier nous montrons que la fonction de Hilbert-Samuel de relativement à la bifiltration -bonne de est une fonction quasi-polynomiale. Nous déduisons du quasi-polynôme associé à cette fonction, d'une manière standard, un concept de multiplicité et nous donnons quelques propriétés.