Annales Mathematiques Africaines


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Contenu

Fonctions quasi-polynomiales de Hilbert et de Hilbert-Samuel, bifiltrations $f\ltimes g$-bonnes, multiplicités



Boubacar HAMA *
Yoro DIAKITE **

Faculté des Sciences et Techniques (FST)
Université des Sciences, des Techniques et des Technologies, BP E423 Bamako, Mali


Mathematics Subject Classification: (2010) 13A02, 13A15, 13A30, 13B25, 13D40, 13F20, 13H15 .
Key words: Bigraded rings and modules, Bifiltered rings and modules, Bigraduation associated to a bifiltration, Hilbert and Hilbert-Samuel quasi-polynomials functions, fxg-good bifiltrations, multiplicities

Abstract:

The study of the asymptotic behaviour of the Hilbert function of a bigraded finitely generated module $M$ over a bigraded noetherian ring $A$, namely the investigation on Hilbert quasi-polynomial functions of $M$, has been recently undertaken among others in [3], [4], and [5]. This was applied to the study of the bigraded modules associated to a bifiltration of $M$, in particulier of Hilbert-Samuel quasi-polynomial functions of $M$. Here, as main results, we extend to $f\ltimes g$-good bifiltrations some properties stated namely in [5] for $(I,J)$-good bifiltrations and multiplicities, where $I$ and $J$ are ideals of the ring $A$ and $f,g$ two noetherian filtrations of $A $. In particular we prove that the Hilbert-Samuel function of $M$ with respect to the $f\ltimes g$-good bifiltration $(f\ltimes g)M$ of $M$ is a quasi-polynomial function. We deduce, in a standard way, from the quasi-polynomial associated to this function, a concept of multiplicity and we give some properties of this multiplicity function.

Résumé:


L'étude du comportement asymptotique des fonctions de Hilbert d'un module bigradué $M$ de type fini sur un anneau bigradué $A$, notamment l'étude des fonctions quasi-polynomiales de Hilbert et l'application aux modules bigradués associés à une bifiltration de $M$, notamment l'investigation sur les fonctions quasi-polynomiales de Hilbert-Samuel que cela engendre naturellement, ont été faites récemment entres autres par [3], [4], [5]. Les résultats obtenus ici se situent dans cette veine. Nous généralisons en particulier aux bifiltrations $f\ltimes g$-bonnes quelques propriétés établies notamment dans [5] pour les bifiltrations $(I,J)$-bonnes et pour les multiplicités, où $I$ et $J$ sont des idéaux de $A$ et $f,g$ deux filtrations noethériennes de $A$. En particulier nous montrons que la fonction de Hilbert-Samuel de $M$ relativement à la bifiltration $f\ltimes g$-bonne $(f\ltimes g)M$ de $M$ est une fonction quasi-polynomiale. Nous déduisons du quasi-polynôme associé à cette fonction, d'une manière standard, un concept de multiplicité et nous donnons quelques propriétés.

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