Annales Mathématiques Africaines

Points algébriques de degré au plus 3 sur la courbe
d’équation affine ₃(11) : y¹¹ = x³(x - 1)³

Boubacar Sidy BALDE ⁽¹⁾ and Oumar SALL ⁽²⁾
Laboratoire: Mathématiques et Applications (LMA),
U.F.R des Sciences et Technologies,
Université Assane Seck de Ziguinchor,
BP 523 Ziguinchor Sénégal

Mathematics Subject Classification: (2010) 14H50, 14H40, 11D68
Key words: Mordell-Weil Group. Jacobian. Galois Conjugates. Algebraic extensions. The Abel-Jacobi theorem. Linear systems.

Abstract:

In this work, we determine explicitly the set of algebraic points of degree at most 3 over ℚ on the affine curve ₃(11) : y¹¹ = x³(x- 1)³. This result is a special case of quotients of Fermat curves _r,s(p) : y^p = x^r(x - 1)^s, 1 ≤ r,s,r + s ≤ p- 1 for p = 11 and r = s = 3. The results obtained extend the work of Gross and Rohrlich who determined ⋃ _[K:ℚ]≤21(11)(K) the set of algebraic points on ₁(11) of degree at most 2 on ℚ.

Résumé:

Dans ce travail, nous déterminons explicitement l’ensemble des points algébriques de degré au-plus 3 sur ℚ sur la courbe affine ₃(11) : y¹¹ = x³(x - 1)³. L’énoncé est un cas spécial des quotients de courbes de Fermat d’équations
_r,s(p) : y^p = x^r(x - 1)^s, 1 ≤ r,s,r + s ≤ p - 1 pour p = 11 et r = s = 3. Les résultats obtenues étendent les travaux de Gross et Rohrlich qui ont déterminé ⋃ _[K:ℚ]≤21(11)(K) l’ensemble des points algébriques sur ₁(11) de degré au-plus 2 sur ℚ.