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Localisation d’un A-module à  gauche (resp. à  droite) où A  est un duo-anneau à  gauche (resp. à  droite)



Ousmane Djiby DIALLO (1) , Mohamed Ben Fraj Ben MAAOUIA 2) , and Mamadou  SANGHARE 3)
1) et 2) École Doctorale de Sciences et Technologies
Université Gaston Berger de Saint-Louis
BP 234, Saint-Louis, Sénégal
3) Université Cheikh Anta Diop de Dakar
BP 5005, Dakar Fann, Sénégal



Mathematics Subject Classification: (MSC 2010):
Key words:

Abstract:

In this paper, we build the left ring of fractions of a left duo-ring A, denoted S-1A, and the left S-1A-module S-1M from a left A-module M, relative to a multiplicative set S of A formed by right regular elements. We also show that the left ring of fractions S-1A is a left duo-ring if, and only if, for any ideal I of A, for all a A and for all s S :

as I ⇒∃t S : ta I

If A is a reduced left duo-ring then we show that for any multiplicative set S of A, the left ring of fractions of A relative to S exists. In particular, for S = A\P, where P is a prime ideal of A, then the left ring of fractions of A relative to S, called the localized of A in P, denoted by AP , is a local ring of unique maximal ideal PP . We also show that AP is a reduced left duo-ring if, and only if, for any a A, aS Sa or there exists s S such that sa = 0.


Résumé:

Dans ce papier, nous construisons l’anneau de fractions d’un duo-anneau à  gauche A, noté S-1A, et le S-1A-module à  gauche S-1M d’un A-module à  gauche M, relativement à  une partie multiplicative S de A formée d’éléments réguliers à  droite. On montre aussi que l’anneau de fractions S-1A est un duo-anneau à  gauche si, et seulement si, pour tout idéal I de A, pour tout a A et pour tout s S :

as I ⇒∃t S : ta I

Si A est un duo-anneau à  gauche réduit alors on montre que pour toute partie multiplicative S de A, l’anneau de fractions de A relativement à  S existe. En particulier pour S = A\P, où P est un idéal premier de A, alors l’anneau de fractions de A à  gauche relativement à  S, appelé le localisé de A en P, noté AP , est local d’unique idéal maximal PP . On montre aussi que AP est un duo-anneau à  gauche réduit si, et seulement si, pour tout a A, aS Sa ou il existe s S tel que sa = 0.

Mathematics Subject Classification: (MSC 2010):
Mots clés;: élément régulier, anneau réduit, anneau de division, anneau de fractions, idéal premier, duo-anneau.

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