Annales Mathematiques Africaines


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Article43

Contenu > Anciens Numéros > Volume_4

Déviations Asymptotiques Bornées et Filtrations
Projectivement Equivalentes



Damase KAMANO
UFR-SFA, Labo de Mathématiques et Informatique, École Normale Supérieure,
08 BP 10 Abidjan 08, Côte d'Ivoire


Abdoulaye ASSANE
Labo de Mathématiques et Informatique, Université Nangui Abrogoua,
02 BP 801 Abidjan 02, Côte d'Ivoire


Phillipe Kodjo AYEGNON
UFR-SFA, Labo de Mathématiques et Informatique, École Normale Supérieure,
08 BP 10 Abidjan 08, Côte d'Ivoire



Mathematics Subject Classification: [2010] : 13A15, 13E05, 13C99
Mots clés: filtration, équivalence projective, déviation
Keywords: filtration, projective equivalence, deviation

Abstract:

The Asymptotic Theory of ideals originated with the investigation in a nœtherian ring $A$ of the Samuel numbers MATH and MATH associated to each pair $(I,J) $ of nonnilpotent ideals having the same radical where
MATH, the limit being reached from below and
MATH The number MATH is defined in a symmetrical situation :
MATH

As an answer of a question raised by Samuel, Nagata has shown that the sets of deviations MATH, MATH are bounded.

In [9], McAdam denotes $e(I$, $J)$ and $E(I$, $J)$ respectively the least upper bounds of those two sets of deviations. If $\wp (I)$ is the set of ideals projectively to $I$, he considers the four sets MATH
where $I$ is a regular ideal in a nœtherian ring $A$. He investigates when each of these four sets is bounded. In each case he gives a necessary and sufficient condition.

In [3] Ayegnon and Dichi extend the Samuel numbers to pairs $(f, g)$, where

MATH and MATH are filtrations on $A$, as follows :
MATH
where $f^{(r)}$ is the filtration MATH with MATH
In this paper, we consider $g$ be a nœtherian, regular filtration on a nœtherian ring $A.$ If $\wp (g)$ is the set of filtrations of $A$ projectively equivalent to $g$, we consider the two sets : MATHwhere $e_{f}(g)$ and $E_{f}(g)$ denotes respectively the last upper bound of the sets of deviations MATH, MATH We investigate when each of the two sets is bounded, in each case giving a necessary and sufficient condition, then we extend to filtrations some results of S. McAdam which are in 9.

Résumé:

La théorie asymptotique des idéaux a pour origine l'étude dans un anneau nœthérien $A$ des nombres de Samuel MATH et MATH associés à chaque paire $(I,J)$ d'ideaux non nilpotents de même racine où MATH
De manière analogue les nombres MATH sont définis par :
MATH
En réponse à une question soulevée par Samuel, Nagata 8 a montré que les ensembles des déviations MATH, MATH sont bornés.

Dans 9, McAdam étudie les nombres MATH
Si $\wp (I)$ est l'ensemble des idéaux projectivement équivalents à $I$, il considera les quatres ensembles suivants MATH
$I$ est un idéal régulier d'un anneau nœthérien $A.$ Il étudia quand chacun des quatre ensembles est borné, en donnant dans chaque cas une condition nécessaire et suffisante.

Dans 3 Ayegnon et Dichi ont étendu les nombres de Samuel aux paires $(f,g)$ de filtrations d'un anneau $A$MATH et MATH de la manière suivante :
MATH
$f^{(r)}$ est la filtration MATH, et

MATH

Dans ce papier, nous prenons $g$ une filtration régulière, nœthérienne d'un anneau nœthérien $A.$ Si $\wp (g)$ est l'ensemble des filtrations de $A$ projectivement équivalentes à $g$, nous considérons les deux ensembles suivants :

MATH MATH Nous étudions quand les deux ensembles sont bornés, dans chaque cas on donne les conditions nécessaires et suffisantes. Ainsi nous étendons aux filtrations des résultats de S. McAdam qui sont dans 9.

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