Annales Mathematiques Africaines


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Article21

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Idéaux irrelevants (resp. relevants), Quasi-filtrations d'un anneau, Caractérisation de la réduction des filtrations par les idéaux irrelevants



S. G. Mete
Ecole Normale Supérieure d'Abidjan


Henri DICHI
Université Blaise Pascal de Clermont-Ferrand II, France


Daouda SANGARE
Université d'Abobo-Adjamé, Abidjan, Côte d'Ivoire



Mathematics Subject Classifications [2010]: 13A02, 13A30 .
Key words : Relevant and irrelevant ideals, filtrations, quasi-filtrations, Reduction of filtrations.

Abstract:


In this paper, we introduce the concept of relevant (resp. irrelevant) ideals for non necessarily homogeneous ideals of $\QTR{Bbb}{Z}$-graded commutative rings and also the concept of quasi-filtration of rings which is close to the definition of filtrations of rings. Then we undertake some investigations on these concepts which enable us to give results analogous to some results of D.Rees [5 ]. In the first part we show, in particular, that if $P$ is any maximal relevant ideal of a graded nœtherian ring MATH then the associated homogeneous ideal MATH is a prime ideal of $A$. We end this paper by giving a criterion on the reduction of $I$ - good (resp. strongly nœtherian) filtrations of a local nœtherian ring $(A,\QTR{cal}{M})$ in terms of irrelevant ideals of their Rees ring.

Résumé


Dans cette note, nous introduisons le concept d'id\eaux relevants (resp. irrelevants) non n\ecessairement gradu\es d'un anneau commutatif gradu\e de type $\QTR{Bbb}{Z}$ et celui de quasi-filtration d'anneau qui est voisin du concept de filtration d'anneau. Nous menons ensuite quelques investigations sur ces concepts qui nous permettent d'\etablir les analogues de certains r\esultats de D. Rees [5 ]. Nous montrons, en particulier, que si $P$ est un id\eal relevant maximal d'un anneau gradu\e nœth\erien MATH alors l'id\eal gradu\e associ\e MATH est premier. Nous terminons cette note par la caract\erisation de la r\eduction des filtrations $I-$bonnes (resp. fortement nœth\eriennes) d'un anneau local nœth\erien $(A,\QTR{cal}{M})$ par les id\eaux irrelevants de leur anneau de Rees.

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