Annales Mathematiques Africaines


Aller au contenu

Article17

Contenu > Anciens Numéros > Volume_2

Largeur analytique d'un couple de filtrations noethériennes



Assane Abdoulaye
UFR-SFA, Labo. Math. et Inform. , Univ. d'Abobo-Adjamé, Côte d'Ivoire




Mathematics Subject Classifications: (MSC2010) 13A15, 13A30, 13D40. .
Key words : Filtration, Hilbert-function, quasi-polynomial, analytic spread.

Abstract:


Let $(A,\QTR{cal}{M)}$ be a local noetherian ring, MATH a noetherian filtration of A. Let $\ \varphi _{f}$ the numerical function defined by : MATH MATH MATH,

MATH

We show that if $f$ is $I$-good and $g$ $J$-good, then $\varphi _{f,g}$ is polynomial type of degree $\lambda (fg)-1$ where $fg$ is the filtration ($I_{n}J_{n}$) and $\psi _{f,g}$ is polynomial type of degree MATH where MATH

We define then the analytic spread of the couple $\left( f,g\right) $ by :
MATH

We show with the above hypothesis that :
MATH where $f+g=(H_{n})$ avec MATH



In the same spirit than [1], we show then that if $f$ is not $I$-good or if $g$ not $J$-good, but if both of them are noetherians, then the function $\varphi _{f,g}$ (resp. $\psi _{f,g}$ ) is quasi-polynomial and all the polynomials components of the qasi-polynomial associated have the same degree wich is $\lambda (fg)-1$ (respMATH if $\sqrt{f}=\sqrt{g}$).

Résumé


Soient ($A,\QTR{cal}{M)}$ un anneau local noethérien MATH une filtration noethériennne de $A.$

Soit $\ \varphi _{f}\ $la fonction numérique définie par

MATH MATH

La fonction $\varphi _{f}$ si elle n'est pas nécessairement de type polynomial, est néamoins quasi-polynomial d'après H.Dichi et D. Sangaré$\left[ 6\right] $.

La largeur analytique de $f$ est définie par : MATH.

Mais contrairement aux fonctions de type polynomial, on a pas en général d'information ni sur le degré, ni sur les coefficients dominants des polynômes composantes du quasi-polynôme associé à une fonction quasi-polynomiale générale.

Dans cet article, pour tout couple $(f,g)$ de filtrations noethériennnes sur l'anneau local noethérien ($A,\QTR{cal}{M)}$, avec MATH et MATH On considère les fontions numériques $\varphi _{f,g}$ et $\psi _{f,g}$ définies comme suit :

pour tout (n,p)MATH(resp.MATH)

MATH,

MATH

On montre que si $f$ est $I-$bonne et g est $J$-bonne, alors $\varphi _{f,g}$ est de type polynomiale de degré $\lambda (fg)-1$$fg$ est la filtration ($I_{n}J_{n}$) et $\psi _{f,g}$ est de type polynomial de degré MATHMATH

On définit alors la largeur analytique du couple $(f,g)$ de filtrations où $f $ est $I-$bonne et g est $J$-bonne comme étant le nombre :

MATH



On montre en particulier que sous les hypothèses précédentes

MATH



$f+g=(H_{n})$ avec MATH

Dans le même esprit que [1], on montre ensuite que si $f$ n'est pas $I$-bonne ou si $g$ n'est pas $J$-bonne, mais si elles sont noethériennes toutes les deux, alors la fonction $\varphi _{f,g}$ (resp. $\psi _{f,g}$) est quasi-polynomiale et tous les polynômes composantes du qasi-polynôme associé ont le même degré qui est $\lambda (fg)-1$ (respMATH si $\sqrt{f}=\sqrt{g}$).

Accueil | Comité de Rédaction | A propos du journal | Abonnement | Contenu | Plan du site


Revenir au contenu | Revenir au menu