AFRICA MATHEMATICS ANNALS

Déviations Asymptotiques Bornées et Filtrations
Projectivement Equivalentes

Damase KAMANO
UFR-SFA, Labo de Mathématiques et Informatique, École Normale Supérieure,
08 BP 10 Abidjan 08, Côte d'Ivoire

Abdoulaye ASSANE
Labo de Mathématiques et Informatique, Université Nangui Abrogoua,
02 BP 801 Abidjan 02, Côte d'Ivoire

Phillipe Kodjo AYEGNON
UFR-SFA, Labo de Mathématiques et Informatique, École Normale Supérieure,
08 BP 10 Abidjan 08, Côte d'Ivoire

Mathematics Subject Classification: [2010] : 13A15, 13E05, 13C99
Mots clés: filtration, équivalence projective, déviation
Keywords: filtration, projective equivalence, deviation

Abstract:

The Asymptotic Theory of ideals originated with the investigation in a nœtherian ring of the Samuel numbers and associated to each pair of nonnilpotent ideals having the same radical where
, the limit being reached from below and
The number is defined in a symmetrical situation :

As an answer of a question raised by Samuel, Nagata has shown that the sets of deviations , are bounded.

In [9], McAdam denotes , and , respectively the least upper bounds of those two sets of deviations. If is the set of ideals projectively to , he considers the four sets
where is a regular ideal in a nœtherian ring . He investigates when each of these four sets is bounded. In each case he gives a necessary and sufficient condition.

In [3] Ayegnon and Dichi extend the Samuel numbers to pairs , where

and are filtrations on , as follows :
where is the filtration with

In this paper, we consider be a nœtherian, regular filtration on a nœtherian ring If is the set of filtrations of projectively equivalent to , we consider the two sets : where and denotes respectively the last upper bound of the sets of deviations , We investigate when each of the two sets is bounded, in each case giving a necessary and sufficient condition, then we extend to filtrations some results of S. McAdam which are in 9.

Résumé:

La théorie asymptotique des idéaux a pour origine l'étude dans un anneau nœthérien des nombres de Samuel et associés à chaque paire d'ideaux non nilpotents de même racine où
De manière analogue les nombres sont définis par :

En réponse à une question soulevée par Samuel, Nagata 8 a montré que les ensembles des déviations , sont bornés.

Dans 9, McAdam étudie les nombres
Si est l'ensemble des idéaux projectivement équivalents à , il considera les quatres ensembles suivants
où est un idéal régulier d'un anneau nœthérien Il étudia quand chacun des quatre ensembles est borné, en donnant dans chaque cas une condition nécessaire et suffisante.

Dans 3 Ayegnon et Dichi ont étendu les nombres de Samuel aux paires de filtrations d'un anneau
où and de la manière suivante :
où est la filtration , et

Dans ce papier, nous prenons une filtration régulière, nœthérienne d'un anneau nœthérien Si est l'ensemble des filtrations de projectivement équivalentes à , nous considérons les deux ensembles suivants :

où:

Nous étudions quand les deux ensembles sont bornés, dans chaque cas on donne les conditions nécessaires et suffisantes. Ainsi nous étendons aux filtrations des résultats de S. McAdam qui sont dans 9.