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Article38

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Sur Les $S_{1}$ -Modules

Alhousseynou BA, Oumar DIANKHA
et Mankagna Albert DIOMPY
Faculté des Sciences et Techniques
Département de Mathematiques et Informatique
Laboratoire d'Algèbre, de Cryptographie, de Géométrie Algébrique et Applications
(L.A.C.G.A.A), Université Cheikh Anta Diop de Dakar, Sénégal

Mathematics Subject Classification: [2010] :
Mots clés: anneau, duo-anneau, Hopfien, longueur finie, catégorie $\sigma \lbrack M]$ , progénérateur, sériel et type de représentation finie.
Keywords: ring, duo-ring, Hopfian, finite length, category $\sigma \lbrack M]$ , progenerator, serial and finite representation type.

Abstract:

Let be a non-necessarily commutative ring and a left -module. We use the category $\sigma \lbrack M]$ to introduce the notion of $S_{1}$ -module who is a generalization of -ring introduced in [3]. An -module satisfies the property (S) or Hopfian, if every surjective -endormorphism of is an automorphism.
It is well known that every finite length object of $\sigma \lbrack M]$ is Hopfian but the converse is not true.
The motivation for this paper comes from to study for a fixed ring , the left -modules for which every hopfian object of $\sigma \lbrack M]$ is of finite length. Such modules are called left $S_{1}$ -modules.
In doing so we actually obtain a characterization of abelian $S_{1}$ -groups, some properties of $S_{1}$ -modules, some properties of $S_{1}$ -modules, characterization of semi-simple $S_{1}$ -modules over duo-ring and seriel finite length $S_{1}$ -modules over duo-ring.

Résumé:

Soient un anneau associatif non nécessairement commutatif et un -module à gauche. Nous utilisons la catégorie $\sigma \lbrack M]$ pour introduire la notion de $S_{1}$ -module qui est une généralisation de la notion de -anneau introduit dans [3]. Un -module vérifie la propriété ou Hopfien, si tout endomorphisme surjectif de est un automorphisme.
Il est bien connu que tout objet de longueur finie de $\sigma \lbrack M]$ est Hopfien, mais la réciproque n'est pas vraie en général.
Le but de ce papier est d'étudier pour un anneau fixé, les -modules pour lesquels tout objet Hopfien de $\sigma \lbrack M]$ est de longueur finie. Ces modules sont appelés des $S_{1}$ -modules.
Dans ce papier nous donnons d'abord une caractérisation complète des $S_{1}$ -groupes abéliens, ensuite nous étudions quelques propriétés des $S_{1}$ -modules avant de donner une caractérisation des $S_{1}$ -modules semi-simples sur un duo-anneau et des $S_{1}$ -modules sériels de longueur finie sur un duo-anneau.