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Article17

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Largeur analytique d'un couple de filtrations noethériennes

Assane Abdoulaye
UFR-SFA, Labo. Math. et Inform. , Univ. d'Abobo-Adjamé, Côte d'Ivoire

Mathematics Subject Classifications: (MSC2010) 13A15, 13A30, 13D40. .
Key words : Filtration, Hilbert-function, quasi-polynomial, analytic spread.

Abstract:

Let $(A,\QTR{cal}{M)}$ be a local noetherian ring, a noetherian filtration of A. Let $\ \varphi _{f}$ the numerical function defined by : ,

MATH

We show that if is -good and -good, then $\varphi _{f,g}$ is polynomial type of degree $\lambda (fg)-1$ where is the filtration ( $I_{n}J_{n}$ ) and $\psi _{f,g}$ is polynomial type of degree where MATH

We define then the analytic spread of the couple $\left( f,g\right)$ by :
MATH

We show with the above hypothesis that :
where $f+g=(H_{n})$ avec MATH

In the same spirit than [1], we show then that if is not -good or if not -good, but if both of them are noetherians, then the function $\varphi _{f,g}$ (resp. $\psi _{f,g}$ ) is quasi-polynomial and all the polynomials components of the qasi-polynomial associated have the same degree wich is $\lambda (fg)-1$ (resp if $\sqrt{f}=\sqrt{g}$ ).

Résumé

Soient ( $A,\QTR{cal}{M)}$ un anneau local noethérien une filtration noethériennne de

Soit $\ \varphi _{f}\$ la fonction numérique définie par

La fonction $\varphi _{f}$ si elle n'est pas nécessairement de type polynomial, est néamoins quasi-polynomial d'après H.Dichi et D. Sangaré $\left[ 6\right]$ .

La largeur analytique de est définie par : .

Mais contrairement aux fonctions de type polynomial, on a pas en général d'information ni sur le degré, ni sur les coefficients dominants des polynômes composantes du quasi-polynôme associé à une fonction quasi-polynomiale générale.

Dans cet article, pour tout couple de filtrations noethériennnes sur l'anneau local noethérien ( $A,\QTR{cal}{M)}$ , avec et On considère les fontions numériques $\varphi _{f,g}$ et $\psi _{f,g}$ définies comme suit :

pour tout (n,p)(resp.)

MATH

On montre que si est bonne et g est -bonne, alors $\varphi _{f,g}$ est de type polynomiale de degré $\lambda (fg)-1$ où est la filtration ( $I_{n}J_{n}$ ) et $\psi _{f,g}$ est de type polynomial de degré où MATH

On définit alors la largeur analytique du couple de filtrations où est bonne et g est -bonne comme étant le nombre :

On montre en particulier que sous les hypothèses précédentes

où $f+g=(H_{n})$ avec MATH

Dans le même esprit que [1], on montre ensuite que si n'est pas -bonne ou si n'est pas -bonne, mais si elles sont noethériennes toutes les deux, alors la fonction $\varphi _{f,g}$ (resp. $\psi _{f,g}$ ) est quasi-polynomiale et tous les polynômes composantes du qasi-polynôme associé ont le même degré qui est $\lambda (fg)-1$ (resp si $\sqrt{f}=\sqrt{g}$ ).